Piedra, papel, tijera, teoría de juegos y cómo la vida imita a los Simpson (XV)

Todos conocemos el viejo juego de piedra, papel o tijera (PPT). Para los que saben teoría de juegos, es bastante fácil e intuitivo mostrar que el juego tiene un único equilibrio de Nash en estrategias mixtas que consiste en jugar cada alternativa con probabilidad 1/3 (este video lo explica brevemente).

Pero todo en la vida se complica. La semana pasada, leía en Futility Closet acerca de un viejo artículo de la revista New Scientist que afirmaba que en realidad hay una estrategia ideal y es comenzar jugando tijera. La explicación a esto es que, supuestamente, la piedra es la elección más popular de manera que la mayoría de la gente espera que su oponente comience con piedra, por lo cual elegirá comenzar jugando papel. Así, uno debería jugar tijera para ganar. Entiendo que esto aplica a la primera jugada en caso de que el juego se repita.

Lamentablemente, el artículo original requiere suscripción, pero la evidencia mencionada en los periódicos que la levantaron es de nada más y nada menos que ¡una observación! En 2005, las subastadoras Christie's y Sotheby's tuvieron que jugar piedra, papel o tijera para ganar el derecho a subastar la colección de un japonés. Cuenta la leyenda que la hija del CEO de Christie's reprodujo a su padre la historia que acabo de contar y este ganó jugando tijera. Creer que esto representa evidencia alguna de que conviene elegir tijera es dejarse engañar por el azar.

El argumento se cae rápido. Vamos de nuevo: dijimos que si el otro espera que yo juegue piedra, va a jugar papel, por lo que me conviene jugar tijera. Pero no hay motivo para que el otro no esté haciendo el mismo razonamiento, de manera que espere que yo juegue tijera, por lo cual le conviene elegir piedra. Sabiendo que mi oponente piensa esto, a mí entonces me conviene jugar papel, por lo que mi oponente debería elegir tijera. Y así podemos seguir hasta el infinito. Este razonamiento es similar al del famoso problema del concurso de belleza que popularizara Keynes y que, en el contexto de la teoría de juegos, descansa sobre el supuesto del conocimiento común de la racionalidad: ambos jugadores son racionales, saben que el rival es racional, saben que el rival sabe que él es racional y así sucesivamente.

Desde la práctica, este paper estudia la dinámica de un juego repetido de PPT. Después de 300 rondas entre seis sujetos, estos jugaron piedra el 32,2% de las veces, papel el 35,6% y tijera el 32,2%. Es decir, estuvieron bastante cerca de un tercio cada una. Curiosamente, la que se juega más que las otras dos es papel, sugiriendo que habría que jugar más tijera pero es una diferencia pequeña (y el paper no calcula su significatividad estadística).

Así y todo, hay un argumento a favor de "la hipótesis de la piedra". En realidad no es a favor suyo específicamente sino más bien de la posibilidad de que exista algo así y es el hecho de que el conocimiento común de la racionalidad no siempre existe. Esto se comprobó en otro conocido juego: el de adivinar dos tercios del promedio. En este, se invita a los participantes a decir un número entre 0 y 100 bajo la regla de que el ganador será quien acierte los 2/3 del promedio de todas las respuestas. Ante un empate, el premio se reparte en partes iguales entre todos los ganadores. Es fácil mostrar que a todos los participantes les conviene decir cero (y que entonces todos ganan y se reparten el premio). Ningún número mayor a 66,67 (dos tercios de 100) puede ser 2/3 del promedio de las respuestas (ya que 66,67 lo es si todos responden 100), por lo tanto, nadie debería entregar un número mayor a ese. Partiendo de esto y repitiendo el mismo razonamiento, ningún número mayor a 44,44 (dos tercios de 66,67) puede ser el promedio de las respuestas así que nadie debería responder algo mayor a eso. El proceso continúa hasta converger a cero. Sin embargo, en la realidad eso no ocurre. Un diario danés realizó este concurso y entre algo menos de 20.000 respuestas, los 2/3 del promedio resultaron ser iguales a 21,6. En una clase en la UBA, con unas 80 personas, un profesor intentó el experimento y el resultado fue algo así como 12, todavía lejos de cero. ¿Qué nos dice esto? La interpretación de estos resultados es que no hay conocimiento común de la racionalidad. Esto es, los participantes no creen que los demás sigan el proceso mencionado hasta responder cero y por lo tanto no responden cero. En PPT, esto equivaldría a que la gente no crea que los demás estén haciendo aquel razonamiento ad infinitum que describíamos más arriba y que esté decidiendo según alguna otra regla. Sin embargo, de eso no se desprende que necesariamente estén pensando en jugar papel.

Lo que queda entonces es algún otro componente psicológico en el juego. En este artículo sobre un torneo escolar de PPT, por ejemplo, un muchacho dice que los jugadores más agresivos juegan piedra más a menudo, aunque es algo meramente anecdotal. Así, limitándome a lo poco que sé hasta el momento, debo decir que la "hipótesis de la piedra" parece tener poco sustento. Por supuesto, siempre se me puede estar escapando algo.

Para terminar, ¿qué tiene que ver todo esto con los Simpson? Resulta que en el viejo capítulo en el que Bart y Lisa escriben episodios de Tomy y Daly, deciden cuál de sus nombres irá primero en el guión con un match de PPT. Curiosamente, Lisa sabe que Bart siempre elige piedra.